Ciągi arytmetyczne to jedno z pierwszych ważnych pojęć w matematyce szkolnej, które później pojawia się w wielu zadaniach, także w fizyce, informatyce czy ekonomii. Zrozumienie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego pozwala szybko obliczać dowolny wyraz ciągu, bez konieczności „przechodzenia” po kolei przez wszystkie poprzednie elementy.
Co to jest ciąg arytmetyczny?
Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczbowy, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Tę stałą różnicę oznaczamy zazwyczaj literą \( r \) i nazywamy ją różnicą ciągu arytmetycznego.
Formalna definicja:
Ciąg \(\{a_n\}\) jest ciągiem arytmetycznym, jeśli dla każdego \(n \geq 1\) zachodzi:
\[ a_{n+1} – a_n = r = \text{stała liczba} \]
Innymi słowy, przechodząc od jednego wyrazu do następnego, zawsze dopisujemy (lub odejmujemy) tę samą liczbę.
Przykłady ciągów arytmetycznych
- \(2, 5, 8, 11, 14, \dots\) – różnica \(r = 3\)
- \(10, 7, 4, 1, -2, \dots\) – różnica \(r = -3\)
- \(-1, -0{,}5, 0, 0{,}5, 1, \dots\) – różnica \(r = 0{,}5\)
Zauważ, że ciąg arytmetyczny może rosnąć (gdy \( r > 0 \)), maleć (gdy \( r < 0 \)) albo być stały (gdy \( r = 0 \)).
Oznaczenia stosowane w ciągach arytmetycznych
Najczęściej będziemy używać następujących oznaczeń:
- \(a_1\) – pierwszy wyraz ciągu
- \(a_n\) – n-ty (dowolny) wyraz ciągu
- \(r\) – różnica ciągu arytmetycznego
- \(n\) – numer wyrazu (liczba naturalna: \(1, 2, 3, \dots\))
Jak „krok po kroku” powstaje ciąg arytmetyczny?
Załóżmy, że znamy pierwszy wyraz \(a_1\) i różnicę \(r\). Zobaczmy, jak wygląda kilka pierwszych wyrazów:
\[
\begin{aligned}
a_1 &= a_1 \\
a_2 &= a_1 + r \\
a_3 &= a_2 + r = a_1 + r + r = a_1 + 2r \\
a_4 &= a_3 + r = a_1 + 2r + r = a_1 + 3r \\
a_5 &= a_4 + r = a_1 + 3r + r = a_1 + 4r
\end{aligned}
\]
Widać tu wyraźną prawidłowość:
- przy \(a_2\) mamy \(1\cdot r\),
- przy \(a_3\) mamy \(2\cdot r\),
- przy \(a_4\) mamy \(3\cdot r\),
- przy \(a_5\) mamy \(4\cdot r\),
Ogólnie – przy \(a_n\) mamy \((n-1)\) razy dodaną różnicę \(r\).
Wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Na podstawie powyższej obserwacji otrzymujemy najważniejszy wzór w tym temacie – wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\[ a_n = a_1 + (n – 1)\cdot r \]
To właśnie ten wzór pozwala od razu obliczyć n-ty wyraz ciągu, jeśli tylko znamy:
- pierwszy wyraz \(a_1\),
- różnicę \(r\),
- numer wyrazu \(n\).
Interpretacja wzoru
Wzór można czytać tak:
„Aby dostać n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, bierzemy pierwszy wyraz i dodajemy do niego różnicę \(r\) powtórzoną \((n-1)\) razy.”
Dlaczego \((n-1)\), a nie \(n\)? Bo:
- aby dojść z \(a_1\) do \(a_2\), dodajemy \(r\) raz,
- aby dojść z \(a_1\) do \(a_3\), dodajemy \(r\) dwa razy,
- aby dojść z \(a_1\) do \(a_4\), dodajemy \(r\) trzy razy, itd.
Między \(a_1\) a \(a_n\) jest dokładnie \((n – 1)\) „kroków”.
Przykłady obliczeń z użyciem wzoru ogólnego
Przykład 1: Oblicz piąty wyraz ciągu
Dany jest ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(a_1 = 2\) i różnicy \(r = 3\). Oblicz \(a_5\).
Rozwiązanie:
Używamy wzoru:
\[ a_n = a_1 + (n – 1)r \]
Wstawiamy dane:
\[ a_5 = 2 + (5 – 1)\cdot 3 = 2 + 4\cdot 3 = 2 + 12 = 14 \]
Odpowiedź: \(a_5 = 14\).
Przykład 2: Oblicz dziesiąty wyraz ciągu
Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz \(a_1 = -4\) i różnicę \(r = 2\). Oblicz \(a_{10}\).
Rozwiązanie:
\[ a_{10} = a_1 + (10 – 1)\cdot r = -4 + 9\cdot 2 = -4 + 18 = 14 \]
Odpowiedź: \(a_{10} = 14\).
Przykład 3: Ciąg malejący
Dany jest ciąg arytmetyczny o \(a_1 = 10\) i różnicy \(r = -2\). Oblicz \(a_6\).
Rozwiązanie:
\[ a_6 = 10 + (6 – 1)\cdot (-2) = 10 + 5\cdot (-2) = 10 – 10 = 0 \]
Odpowiedź: \(a_6 = 0\).
Jak rozpoznać ciąg arytmetyczny? (praktyczne podejście)
Załóżmy, że mamy podany ciąg:
\(4, 7, 10, 13, 16\)
Sprawdźmy kolejne różnice:
- \(7 – 4 = 3\)
- \(10 – 7 = 3\)
- \(13 – 10 = 3\)
- \(16 – 13 = 3\)
Wszystkie różnice są równe 3, więc jest to ciąg arytmetyczny o różnicy \(r = 3\).
Dla porównania spójrzmy na ciąg:
\(1, 2, 4, 8, 16\)
Różnice:
- \(2 – 1 = 1\)
- \(4 – 2 = 2\)
- \(8 – 4 = 4\)
- \(16 – 8 = 8\)
Różnice nie są stałe, więc to nie jest ciąg arytmetyczny (to akurat przykład ciągu geometrycznego, ale to inny temat).
Inna postać wzoru ogólnego – gdy znamy inny wyraz niż pierwszy
Czasem w zadaniu nie mamy podanego \(a_1\), tylko np. \(a_3\) i \(r\), albo dwóch dowolnych wyrazów \(a_k\) i \(a_m\). Wtedy przydaje się ogólniejsza postać wzoru.
Wzór ogólny względem dowolnego wyrazu \(a_k\)
Jeśli znamy jakiś wyraz \(a_k\) i różnicę \(r\), to:
\[ a_n = a_k + (n-k)\cdot r \]
Ten wzór ma tę samą logikę co poprzedni: aby przejść z wyrazu o numerze \(k\) do wyrazu o numerze \(n\), trzeba wykonać \((n-k)\) „kroków” różnicy \(r\).
Przykład 4: Oblicz inny wyraz znając \(a_4\)
Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym \(a_4 = 10\) oraz \(r = 2\). Oblicz \(a_9\).
Rozwiązanie:
Używamy wzoru:
\[ a_n = a_k + (n-k)r \]
Wstawiamy \(k = 4\), \(n = 9\):
\[ a_9 = a_4 + (9 – 4)\cdot 2 = 10 + 5\cdot 2 = 10 + 10 = 20 \]
Odpowiedź: \(a_9 = 20\).
Związek między różnymi wyrazami ciągu arytmetycznego
Ze wzoru ogólnego wynika praktyczna zależność:
\[ a_n – a_m = (n – m)\cdot r \]
To oznacza, że różnica między dwoma dowolnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest iloczynem różnicy ich numerów i różnicy ciągu.
Przykład 5: Oblicz różnicę ciągu znając dwa wyrazy
W ciągu arytmetycznym dane są: \(a_2 = 5\), \(a_7 = 25\). Oblicz różnicę \(r\).
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru:
\[ a_7 – a_2 = (7 – 2)\cdot r \]
\[ 25 – 5 = 5\cdot r \]
\[ 20 = 5r \Rightarrow r = 4 \]
Odpowiedź: \(r = 4\).
Prosta tabela z wartościami ciągu arytmetycznego
Rozważmy ciąg arytmetyczny o \(a_1 = 3\) i \(r = 2\). Obliczmy kilka pierwszych wyrazów:
| \(n\) | \(a_n\) | Obliczenie według wzoru \(a_n = a_1 + (n-1)r\) |
|---|---|---|
| 1 | \(3\) | \(a_1 = 3\) |
| 2 | \(5\) | \(a_2 = 3 + (2-1)\cdot 2 = 3 + 2 = 5\) |
| 3 | \(7\) | \(a_3 = 3 + (3-1)\cdot 2 = 3 + 4 = 7\) |
| 4 | \(9\) | \(a_4 = 3 + (4-1)\cdot 2 = 3 + 6 = 9\) |
| 5 | \(11\) | \(a_5 = 3 + (5-1)\cdot 2 = 3 + 8 = 11\) |
Prosty wykres ciągu arytmetycznego
Aby lepiej zobaczyć, jak zachowuje się ciąg arytmetyczny, często pomaga wykres. Dla powyższego ciągu (\(a_1 = 3\), \(r = 2\)) punkty mają współrzędne:
- \((1, 3)\)
- \((2, 5)\)
- \((3, 7)\)
- \((4, 9)\)
- \((5, 11)\)
Na wykresie ciąg arytmetyczny tworzy punkty leżące na prostej (gdy połączymy je odcinkami). Poniżej prosty, responsywny wykres oparty na bibliotece Chart.js:
Jak obliczać wartości w ciągu arytmetycznym – podsumowanie kroków
Aby obliczyć konkretny wyraz ciągu arytmetycznego:
- Ustal dane z zadania: znajdź pierwszy wyraz \(a_1\) (lub inny znany wyraz), różnicę \(r\) oraz numer szukanego wyrazu \(n\).
- Sprawdź, czy to naprawdę ciąg arytmetyczny (jeśli masz podane kilka kolejnych wyrazów – zobacz, czy różnice są stałe).
- Zastosuj odpowiedni wzór:
- jeśli znasz \(a_1\): \(\; a_n = a_1 + (n – 1)r\),
- jeśli znasz \(a_k\): \(\; a_n = a_k + (n – k)r\).
- Podstaw liczby i oblicz krok po kroku – zwracając uwagę na nawiasy i znaki „+” i „−”.
Prosty kalkulator ciągu arytmetycznego
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który pomaga obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego z ogólnego wzoru \(a_n = a_1 + (n-1)r\).
Wynik: