Przekształcenia wykresów funkcji to jedno z tych zagadnień, które często pojawia się w szkole, a jednocześnie budzi wiele pytań: „dlaczego przesunięcie w poziomie ma znak przeciwny?”, „jak szybko narysować nowy wykres, gdy w zapisie funkcji pojawia się minus lub mnożnik?” Ten tekst ma krok po kroku wyjaśnić, jak czytać wzory funkcji i jak z nich wyprowadzać kształt wykresu.
Podstawowa idea: od funkcji bazowej do przekształconej
Zaczynamy zawsze od jakiejś funkcji bazowej, np.
\[ y = f(x) \]
Może to być na przykład:
- \( f(x) = x^2 \) – parabola,
- \( f(x) = |x| \) – wartość bezwzględna,
- \( f(x) = \sqrt{x} \) – pierwiastek,
- \( f(x) = \sin x \) – sinusoida.
Przekształcenia wykresu oznaczają, że zamiast \( y = f(x) \) pojawiają się wyrażenia takie jak:
- \( y = f(x) + a \)
- \( y = f(x – a) \)
- \( y = -f(x) \)
- \( y = a \cdot f(x) \)
- \( y = f(-x) \)
- \( y = f(bx) \)
Każda taka zmiana ma konkretny, powtarzalny i przewidywalny wpływ na wykres. Po przeczytaniu artykułu powinieneś umieć:
- rozpoznać rodzaj przekształcenia z zapisu funkcji,
- narysować nowy wykres na podstawie wykresu bazowego,
- zrozumieć, dlaczego wykres przesuwa się w prawo, lewo, w górę, w dół, odbija lub rozciąga.
Przesunięcia wykresu w górę, w dół, w prawo i w lewo
Przesunięcie w górę i w dół – dodawanie do \(y\)
Rozważmy funkcję:
\[ y = f(x) + a \]
Jeśli mamy punkt na wykresie funkcji bazowej \( f(x) \):
\[ (x, y) \quad \text{gdzie} \quad y = f(x), \]
to na wykresie funkcji \( y = f(x) + a \) odpowiada mu punkt:
\[ (x, y + a). \]
Czyli:
- dodanie dodatniego \( a > 0 \) – przesuwa wykres w górę o \( a \) jednostek,
- dodanie ujemnego \( a < 0 \) – przesuwa wykres w dół o \(|a|\) jednostek.
| Postać funkcji | Opis przekształcenia | Kierunek przesunięcia |
|---|---|---|
| \( y = f(x) + 3 \) | Każdy punkt ma nową wysokość \( y + 3 \) | W górę o 3 |
| \( y = f(x) – 2 \) | Każdy punkt ma nową wysokość \( y – 2 \) | W dół o 2 |
Przykład:
Mamy wykres \( y = x^2 \). Funkcja:
\[ y = x^2 + 2 \]
to wykres paraboli \( y = x^2 \) przesunięty w górę o 2 jednostki. Wierzchołek z punktu \( (0,0) \) przechodzi do punktu \( (0,2) \).
Przesunięcie w prawo i w lewo – zmiana w argumencie \(x\)
Teraz weźmy funkcję:
\[ y = f(x – a) \]
Tu pojawia się najczęściej spotykana trudność: dlaczego znak jest „odwrotny”?
Zapamiętaj kluczową zasadę:
- \( y = f(x – a) \) – przesunięcie w prawo o \( a \),
- \( y = f(x + a) \) – przesunięcie w lewo o \( a \).
Wyjaśnienie krok po kroku:
- Załóżmy, że punkt \( (x_0, y_0) \) leży na wykresie \( y = f(x) \), czyli \( y_0 = f(x_0) \).
- Chcemy znaleźć taki punkt na nowym wykresie \( y = f(x – a) \), który ma tę samą wartość \( y_0 \).
- W nowej funkcji mamy \( y_0 = f(x – a) \). Aby to było równe \( f(x_0) \), trzeba mieć:
\[ x – a = x_0 \quad \Rightarrow \quad x = x_0 + a. \]
Nowy punkt ma więc współrzędne:
\[ (x_0 + a, y_0). \]
Czyli cały wykres przesuwa się w prawo o \( a \).
| Postać funkcji | Opis przekształcenia | Kierunek przesunięcia |
|---|---|---|
| \( y = f(x – 3) \) | Aby mieć tę samą wartość \(y\), trzeba zwiększyć \(x\) o 3 | W prawo o 3 |
| \( y = f(x + 2) \) | Aby mieć tę samą wartość \(y\), trzeba zmniejszyć \(x\) o 2 | W lewo o 2 |
Przykład:
Funkcja:
\[ y = (x – 1)^2 \]
to wykres \( y = x^2 \) przesunięty w prawo o 1 jednostkę. Wierzchołek paraboli przechodzi z punktu \( (0,0) \) do \( (1,0) \).
Odbicia wykresu względem osi
Odbicie względem osi OX – zmiana znaku przy \(f(x)\)
Weźmy funkcję:
\[ y = -f(x) \]
Każdy punkt \( (x, y) \) z wykresu \( y = f(x) \) przechodzi w punkt:
\[ (x, -y). \]
To dokładnie odpowiada odbiciu względem osi OX.
Przykład:
- \( y = x^2 \) – parabola „uśmiechnięta” (ramiona do góry),
- \( y = -x^2 \) – parabola „smutna” (ramiona w dół).
Odbicie względem osi OY – zmiana znaku argumentu \(x\)
Teraz rozważmy:
\[ y = f(-x) \]
Każdy punkt \( (x, y) \) z wykresu \( y = f(x) \) odpowiada punktowi \( (-x, y) \) na wykresie \( y = f(-x) \). To odbicie względem osi OY.
Przykład:
- \( y = \sqrt{x} \) – wykres tylko po prawej stronie osi OY (dla \( x \ge 0 \)),
- \( y = \sqrt{-x} \) – ten sam kształt, ale po lewej stronie osi OY (dla \( x \le 0 \)).
| Postać funkcji | Rodzaj odbicia | Co się dzieje z punktem \((x,y)\) |
|---|---|---|
| \( y = -f(x) \) | Względem osi OX | \((x, y) \to (x, -y)\) |
| \( y = f(-x) \) | Względem osi OY | \((x, y) \to (-x, y)\) |
Rozciąganie i ściskanie wykresu
Rozciąganie / ściskanie w pionie – mnożenie funkcji
Funkcja:
\[ y = a \cdot f(x) \]
powstaje przez pomnożenie wartości funkcji przez liczbę \( a \). Każdy punkt \( (x, y) \) z wykresu \( y = f(x) \) przechodzi w punkt:
\[ (x, a \cdot y). \]
Zatem:
- \( |a| > 1 \) – wykres jest rozciągnięty w pionie,
- \( 0 < |a| < 1 \) – wykres jest ściśnięty w pionie,
- \( a < 0 \) – dodatkowo pojawia się odbicie względem osi OX.
Przykład:
- \( y = 2x^2 \) – parabola węższa (rozciągnięta w pionie),
- \( y = \tfrac{1}{2}x^2 \) – parabola szersza (ściśnięta w pionie),
- \( y = -3x^2 \) – parabola węższa i obrócona „do dołu”.
Rozciąganie / ściskanie w poziomie – mnożenie argumentu \(x\)
Funkcja:
\[ y = f(bx) \]
powoduje zmianę w kierunku poziomym. Tutaj, podobnie jak przy przesunięciach, znak i wartość są odczuwalne „odwrotnie” niż przy mnożeniu \( y \).
Relacja między punktem na wykresie bazowym a nowym wykresem:
- Na wykresie bazowym: \( y = f(x_0) \).
- Na wykresie zmienionym: \( y = f(bx) \). Aby uzyskać tę samą wartość \( y \), musimy mieć \( bx = x_0 \), czyli:
\[ x = \frac{x_0}{b}. \]
Czyli punkt \((x_0, y)\) przechodzi w \(\left(\frac{x_0}{b}, y\right)\).
- \( |b| > 1 \) – wykres ściska się w poziomie (punkty bliżej osi OY),
- \( 0 < |b| < 1 \) – wykres rozciąga się w poziomie (punkty dalej od osi OY),
- \( b < 0 \) – dodatkowo następuje odbicie względem osi OY.
Przykład:
- \( y = (2x)^2 = 4x^2 \) – w praktyce dla paraboli widzimy efekt jak przy \( y = 4x^2 \) (węższa parabola);
- \( y = \sqrt{2x} \) – wykres bardziej „ściśnięty” w poziomie niż \( y = \sqrt{x} \).
Łączenie przekształceń: przesunięcia, skale, odbicia
Często mamy funkcję w postaci:
\[ y = a \cdot f\big(b(x – c)\big) + d \]
Można to czytać krok po kroku:
- \( x – c \) – przesunięcie w prawo o \( c \),
- \( b(x – c) \) – ściśnięcie / rozciągnięcie w poziomie oraz ewentualne odbicie względem osi OY (jeśli \( b < 0 \)),
- \( f(\dots) \) – zastosowanie funkcji bazowej,
- \( a \cdot f(\dots) \) – ściśnięcie / rozciągnięcie w pionie oraz ewentualne odbicie względem osi OX (jeśli \( a < 0 \)),
- \( + d \) – przesunięcie w górę / w dół.
Uwaga praktyczna: w wielu zadaniach przydaje się stosować kolejność od wewnątrz nawiasu na zewnątrz (czyli najpierw to, co dzieje się z \(x\), potem z \(y\)). Ważniejsze od samej kolejności jest jednak to, by rozumieć każdy efekt osobno.
Prosty, responsywny wykres – przykład na paraboli
Poniżej znajduje się prosty wykres w <canvas>, pokazujący wykres bazowy \( y = x^2 \) oraz wykres przekształcony \( y = (x – 2)^2 + 1 \) – czyli przesunięcie w prawo o 2 i w górę o 1.
Na tym przykładzie możesz zaobserwować:
- wierzchołek bazowej paraboli \( y = x^2 \) – w punkcie \( (0,0) \),
- wierzchołek przekształconej paraboli \( y = (x – 2)^2 + 1 \) – w punkcie \( (2,1) \).
Przykłady krok po kroku
Przykład 1: Od \( y = x^2 \) do \( y = (x – 3)^2 + 2 \)
Mamy funkcję:
\[ y = (x – 3)^2 + 2 \]
Chcemy ją narysować, korzystając z wykresu bazowego \( y = x^2 \).
- Wykres bazowy: \( y = x^2 \). Wierzchołek w punkcie \( (0,0) \).
- Przesunięcie w poziomie: \( x \to x – 3 \).
- Postać: \( y = (x – 3)^2 \).
- Efekt: przesunięcie wykresu \( y = x^2 \) w prawo o 3.
- Nowy wierzchołek: \( (3,0) \).
- Przesunięcie w pionie: \( y = (x – 3)^2 + 2 \).
- Dodanie 2 – przesunięcie w górę o 2.
- Ostateczny wierzchołek: \( (3,2) \).
Podsumowanie:
- W porównaniu z \( y = x^2 \) wykres przesunął się o 3 w prawo i o 2 w górę.
- Kształt paraboli się nie zmienił (brak mnożników przy \( x^2 \)).
Przykład 2: Odbicie i rozciągnięcie – od \( y = |x| \) do \( y = -2|x| + 1 \)
Rozważmy funkcję:
\[ y = -2|x| + 1 \]
- Wykres bazowy: \( y = |x| \).
- „V” otwarte do góry, wierzchołek w \( (0,0) \).
- Mnożnik -2: \( y = -2|x| \).
- \( 2 \) – rozciągnięcie w pionie (ramiona bardziej strome),
- \( – \) – odbicie względem osi OX (V „odwracane” do dołu).
- Dodanie 1: \( y = -2|x| + 1 \).
- Przesunięcie w górę o 1.
- Wierzchołek z \( (0,0) \) przechodzi do \( (0,1) \).
Efekt końcowy: wykres w kształcie odwróconej i „węższej” litery V, której wierzchołek jest w punkcie \( (0,1) \).
Przykład 3: Ściskanie w poziomie – od \( y = \sqrt{x} \) do \( y = \sqrt{2x} \)
Weźmy funkcję:
\[ y = \sqrt{2x} \]
Można ją traktować jako funkcję bazową \( f(x) = \sqrt{x} \), do której wstawiono argument \( 2x \):
\[ y = f(2x). \]
To oznacza ściskanie w poziomie:
- każda wartość \( y \) pojawia się teraz „bliżej” osi OY (bo trzeba mniejszego \( x \), aby osiągnąć daną wartość pierwiastka),
- formalnie: punkt z \( x_0 \) na wykresie bazowym odpowiada punktowi z \( x = \tfrac{x_0}{2} \) na nowym wykresie.
Prosty kalkulator: nowe współrzędne punktu po przekształceniu
Często w zadaniach pojawia się pytanie: „Gdzie trafi punkt \((x_0, y_0)\) po zastosowaniu danego przekształcenia wykresu?”. Dla ogólnej postaci:
\[ y = a \cdot f\big(b(x – c)\big) + d \]
można powiązać punkt z wykresu bazowego \( y = f(x) \) z punktem na nowym wykresie.
Jeśli:
- \( (x_0, y_0) \) leży na wykresie \( y = f(x) \), czyli \( y_0 = f(x_0) \),
to odpowiadający mu punkt na wykresie:
\[ y = a \cdot f\big(b(x – c)\big) + d \]
ma współrzędne:
\[ x’ = \frac{x_0}{b} + c, \qquad y’ = a \cdot y_0 + d. \]
Poniżej znajduje się prosty kalkulator, który to oblicza. Wpisz punkt \((x_0, y_0)\) z wykresu bazowego oraz parametry \( a, b, c, d \), a otrzymasz \((x’, y’)\).
Calculator przekształceń punktu
Podsumowanie – jak przekształcać wykresy funkcji?
Najważniejsze reguły, które warto zapamiętać:
- \( y = f(x) + a \) – przesunięcie w górę / w dół:
- \( a > 0 \) – w górę o \( a \),
- \( a < 0 \) – w dół o \(|a|\).
- \( y = f(x – a) \) – przesunięcie w prawo o \( a \); \( y = f(x + a) \) – w lewo o \( a \).
- \( y = -f(x) \) – odbicie względem osi OX.
- \( y = f(-x) \) – odbicie względem osi OY.
- \( y = a \cdot f(x) \):
- \( |a| > 1 \) – rozciągnięcie w pionie,
- \( 0 < |a| < 1 \) – ściśnięcie w pionie,
- \( a < 0 \) – dodatkowo odbicie względem osi OX.
- \( y = f(bx) \):
- \( |b| > 1 \) – ściśnięcie w poziomie,
- \( 0 < |b| < 1 \) – rozciągnięcie w poziomie,
- \( b < 0 \) – dodatkowo odbicie względem osi OY.
- Ogólna postać \( y = a \cdot f\big(b(x – c)\big) + d \) łączy:
- przesunięcie w prawo o \( c \),
- rozciągnięcie / ściśnięcie i ewentualne odbicie w poziomie (przez \( b \)),
- rozciągnięcie / ściśnięcie i ewentualne odbicie w pionie (przez \( a \)),
- przesunięcie w górę o \( d \).
Ćwicząc na prostych funkcjach bazowych – takich jak \( x^2 \), \(|x|\), \(\sqrt{x}\), \(\sin x\) – szybko nabierzesz wprawy. Przekształcenia wykresów funkcji staną się wtedy naturalnym narzędziem, a nie listą trudnych do zapamiętania reguł.