Zbiór wartości funkcji to jedno z podstawowych pojęć w matematyce – pojawia się w szkole podstawowej, w liceum i na studiach. Bez jego zrozumienia trudno dobrze opanować wykresy funkcji, rozwiązywanie równań, nierówności czy zadania optymalizacyjne. W tym artykule krok po kroku wyjaśnimy, czym jest zbiór wartości funkcji i jak go wyznaczać w praktyce.
Co to jest zbiór wartości funkcji?
Załóżmy, że mamy funkcję \( f \), która każdemu argumentowi \( x \) przyporządkowuje pewną liczbę \( y \). Zwykle zapisujemy to tak:
\[ y = f(x). \]
Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich dozwolonych argumentów \( x \), które możemy wstawić do wzoru funkcji.
Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich liczb, które funkcja może przyjąć jako wynik (czyli wszystkich możliwych wartości \( y \)).
Formalnie:
\[ \text{Jeśli } f : D \to \mathbb{R}, \text{ to zbiór wartości } f \text{ to } f(D) = \{ f(x) : x \in D \}. \]
W zwykłych słowach: patrzymy na wszystkie możliwe dozwolone \( x \), obliczamy \( f(x) \), a potem zbieramy wszystkie otrzymane wyniki. Z tego powstaje zbiór wartości.
Prosty przykład
Rozważmy funkcję:
\[ f(x) = 2x, \quad \text{dziedzina: } \mathbb{R}. \]
Dla tej funkcji:
- jeśli \( x = 0 \), to \( f(0) = 0 \),
- jeśli \( x = 1 \), to \( f(1) = 2 \),
- jeśli \( x = -1 \), to \( f(-1) = -2 \),
- jeśli \( x = 100 \), to \( f(100) = 200 \), itd.
Możemy otrzymać każdą liczbę rzeczywistą, bo dla dowolnej liczby \( y \) możemy znaleźć takie \( x = \frac{y}{2} \), że \( f(x) = y \). Dlatego:
\[ \text{Zbiór wartości } f(x) = 2x \text{ (przy dziedzinie } \mathbb{R}) \text{ to } \mathbb{R}. \]
Dlaczego zbiór wartości jest ważny?
- Pomaga zrozumieć, jakie wyniki są możliwe do uzyskania z danej funkcji.
- Jest niezbędny przy rozwiązywaniu równań i nierówności (np. czy równanie \( f(x)=5 \) ma rozwiązanie?).
- W analizie wykresów funkcji mówi nam, na jakiej wysokości (na osi \( y \)) „żyje” wykres.
- W zadaniach praktycznych (fizyka, ekonomia, informatyka) pozwala sprawdzić, czy dany wynik jest w ogóle możliwy w danym modelu.
Dziedzina a zbiór wartości – nie myl tych dwóch!
Uczniom często mylą się pojęcia dziedziny i zbioru wartości. Warto to uporządkować:
| Pojęcie | Co opisuje? | Na jakiej osi? | Przykład zapisu |
|---|---|---|---|
| Dziedzina | Zbiór dozwolonych argumentów \( x \) | Oś pozioma (oś \( x \)) | \( D_f = (-\infty, \infty) \) lub \( D_f = \langle -2, 3) \) |
| Zbiór wartości | Zbiór możliwych wyników \( y = f(x) \) | Oś pionowa (oś \( y \)) | \( W_f = \langle 0, \infty) \) lub \( W_f = (-\infty, 5\rangle \) |
W skrócie:
- dziedzina – „co wolno wstawić”,
- zbiór wartości – „co z tego wychodzi”.
Metody wyznaczania zbioru wartości funkcji
W praktyce korzystamy z kilku podstawowych metod. Najczęściej stosuje się:
- metodę „zdroworozsądkową” dla prostych funkcji (np. liniowych),
- analizę wykresu funkcji,
- metody algebraiczne (np. wyróżnik trójmianu kwadratowego, przekształcanie wzoru),
- analizę dziedziny wyrażenia, w którym \( y \) jest wyrażone przez \( x \),
- metody oparte na monotoniczności (czyli rosnącości/malejącości funkcji).
Wyznaczanie zbioru wartości – pierwsze proste przykłady
1. Funkcja liniowa
Rozważmy funkcję liniową:
\[ f(x) = ax + b, \quad a \neq 0, \quad D_f = \mathbb{R}. \]
Wykres funkcji liniowej to prosta bez przerw, idąca nieskończenie w górę i w dół. Jeśli dziedzina to całe \( \mathbb{R} \), to funkcja przyjmuje wszystkie wartości rzeczywiste.
Zbiór wartości:
\[ W_f = \mathbb{R}. \]
Przykład
\[ f(x) = 3x – 1, \quad D_f = \mathbb{R}. \]
Wartości tej funkcji mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi, ponieważ prostą można przesuwać w górę i w dół, a jej wykres wciąż „przechodzi” przez wszystkie wysokości.
Wniosek:
\[ W_f = \mathbb{R}. \]
Uwaga: Zmiana dziedziny może zmienić zbiór wartości.
Przykład:
\[ f(x) = 3x – 1, \quad D_f = \langle 0, 2 \rangle. \]
Wtedy:
- dla \( x = 0 \): \( f(0) = -1 \),
- dla \( x = 2 \): \( f(2) = 5 \).
Funkcja liniowa jest rosnąca (bo \( a=3>0 \)), więc na przedziale \(\langle 0,2\rangle\) przyjmuje wszystkie wartości między -1 a 5. Zatem:
\[ W_f = \langle -1, 5 \rangle. \]
2. Funkcja kwadratowa – intuicja
Funkcja kwadratowa ma postać:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0. \]
Jej wykres to parabola:
- jeśli \( a > 0 \) – ramiona do góry,
- jeśli \( a < 0 \) – ramiona w dół.
Zbiór wartości funkcji kwadratowej zależy od położenia wierzchołka paraboli.
Współrzędne wierzchołka:
\[ x_w = -\frac{b}{2a}, \quad y_w = f(x_w). \]
- Jeśli \( a > 0 \): parabola ma minimum w punkcie \( (x_w, y_w) \) i idzie w górę. Zbiór wartości to:
\[ W_f = \langle y_w, \infty). \] - Jeśli \( a < 0 \): parabola ma maksimum w punkcie \( (x_w, y_w) \) i idzie w dół. Zbiór wartości to:
\[ W_f = (-\infty, y_w \rangle. \]
Przykład 1 – ramiona do góry
\[ f(x) = x^2, \quad D_f = \mathbb{R}. \]
- Współczynnik \( a = 1 > 0 \) – ramiona do góry.
- Wierzchołek: \( x_w = 0 \), \( y_w = f(0) = 0 \).
Parabola ma minimum w punkcie (0,0) i rośnie w górę po obu stronach. To znaczy, że:
\[ f(x) \ge 0 \text{ dla każdego } x \in \mathbb{R}. \]
Zbiór wartości:
\[ W_f = \langle 0, \infty). \]
Przykład 2 – ramiona w dół
\[ f(x) = -x^2 + 4, \quad D_f = \mathbb{R}. \]
- \( a = -1 < 0 \) – ramiona w dół.
- Wierzchołek: \( x_w = 0 \), \( y_w = f(0) = 4 \).
Parabola ma maksimum 4 i opada w dół po obu stronach. Oznacza to, że:
\[ f(x) \le 4 \text{ dla każdego } x \in \mathbb{R}. \]
Zbiór wartości:
\[ W_f = (-\infty, 4\rangle. \]
3. Prosta wizualizacja – wykres paraboli
Poniżej znajduje się prosty, responsywny wykres funkcji \( f(x) = x^2 \), który pomaga zrozumieć, skąd bierze się zbiór wartości \(\langle 0, \infty)\). Zwróć uwagę, że wykres nie przechodzi poniżej osi \( x \).
Jak krok po kroku wyznaczać zbiór wartości?
Ogólny schemat myślenia może wyglądać tak:
- Sprawdź dziedzinę funkcji – od tego zależy, jakie \( x \) wolno podstawiać.
- Przeanalizuj typ funkcji – liniowa, kwadratowa, wymierna, pierwiastkowa itd.
- Użyj odpowiedniej metody (wykres, analiza wzoru, przekształcenia).
- Ustal najmniejszą i największą możliwą wartość (jeśli istnieją) lub zakres „od-do” bez ograniczeń.
- Zapisz wynik jako przedział (np. \(\langle a,b\rangle\)) lub zbiór (np. \(\{0,1,2\}\)).
Wyznaczanie zbioru wartości różnych typów funkcji
1. Funkcje liniowe – podsumowanie
- Jeśli \( f(x) = ax + b \) i \( D_f = \mathbb{R} \), to \( W_f = \mathbb{R} \).
- Jeśli dziedzina jest przedziałem \(\langle \alpha, \beta \rangle\) i funkcja jest rosnąca (\( a > 0 \)), to:
\[ W_f = \langle f(\alpha), f(\beta) \rangle. \] - Jeśli dziedzina jest przedziałem i funkcja jest malejąca (\( a < 0 \)), to „zamieniają się” końce: \[ W_f = \langle \min(f(\alpha), f(\beta)), \max(f(\alpha), f(\beta)) \rangle. \]
2. Funkcje kwadratowe – praktyczna metoda
Dla funkcji kwadratowej z pełną dziedziną \( \mathbb{R} \):
- Oblicz \( x_w = -\frac{b}{2a} \).
- Oblicz \( y_w = f(x_w) \).
- Sprawdź znak \( a \):
- jeśli \( a > 0 \): \( W_f = \langle y_w, \infty) \),
- jeśli \( a < 0 \): \( W_f = (-\infty, y_w \rangle \).
Przykład – szczegółowe obliczenia
Wyznacz zbiór wartości funkcji:
\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1, \quad D_f = \mathbb{R}. \]
Krok 1. Obliczamy \( x_w \)
\[ x_w = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1. \]
Krok 2. Obliczamy \( y_w \)
\[ y_w = f(1) = 2\cdot1^2 – 4\cdot1 + 1 = 2 – 4 + 1 = -1. \]
Krok 3. Znak \( a \)
\( a = 2 > 0 \), więc ramiona do góry, minimum w wierzchołku.
Zatem:
\[ W_f = \langle -1, \infty). \]
Prosty kalkulator do obliczania zbioru wartości funkcji kwadratowej
Poniższy kalkulator pomaga dla funkcji \( f(x) = ax^2 + bx + c \) (z dziedziną \( \mathbb{R} \)) znaleźć wierzchołek i opisać zbiór wartości.
Kalkulator zbioru wartości funkcji kwadratowej
3. Funkcje wymierne – przykład z odwrotnością
Klasyczny przykład funkcji wymiernej:
\[ f(x) = \frac{1}{x}, \quad D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}. \]
Co się dzieje z wartościami tej funkcji?
- Nie możemy wstawić \( x = 0 \) – dziedzina wyklucza 0.
- Czy możemy dostać wartość 0? Oznaczałoby to:
\[ \frac{1}{x} = 0. \]
Ale takiego \( x \) nie ma, bo \(\frac{1}{x}\) nigdy nie jest równe 0.
Zatem 0 nie należy do zbioru wartości.
Dla dowolnej innej liczby \( y \neq 0 \) możemy znaleźć:
\[ x = \frac{1}{y} \Rightarrow f(x) = \frac{1}{x} = y. \]
Zatem zbiór wartości to:
\[ W_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}. \]
4. Funkcje pierwiastkowe
Rozważmy funkcję:
\[ f(x) = \sqrt{x}, \quad D_f = \langle 0, \infty). \]
- Pod pierwiastkiem nie może być liczba ujemna (w liczbach rzeczywistych), dlatego dziedzina to \(\langle 0, \infty)\).
- Wartości pierwiastka są zawsze nieujemne:
\[ \sqrt{x} \ge 0 \text{ dla } x \ge 0. \]
Jeśli podstawimy wszystkie \( x \ge 0 \), to \(\sqrt{x}\) przyjmie wszystkie wartości nieujemne:
- \( x = 0 \Rightarrow f(0) = 0 \),
- \( x = 1 \Rightarrow f(1) = 1 \),
- \( x = 4 \Rightarrow f(4) = 2 \),
- \( x = 9 \Rightarrow f(9) = 3 \), itd.
Zatem:
\[ W_f = \langle 0, \infty). \]
Metoda „odwracania” funkcji – kiedy się przydaje?
Czasem wygodnie jest:
- Zapisać równanie \( y = f(x) \),
- rozwiązać je względem \( x \),
- zobaczyć, jakie warunki musi spełniać \( y \), żeby równanie miało rozwiązanie.
Przykład
Wyznacz zbiór wartości funkcji:
\[ f(x) = \sqrt{x+1}, \quad D_f = \langle -1, \infty). \]
Najpierw zapisujemy:
\[ y = \sqrt{x+1}. \]
Krok 1. Podnieś obie strony do kwadratu:
\[ y^2 = x + 1. \]
Krok 2. Wyraź \( x \):
\[ x = y^2 – 1. \]
Krok 3. Zastosuj warunki:
- pierwiastek był zdefiniowany, więc \( x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1 \),
- pierwiastek jest zawsze nieujemny: \( y = \sqrt{x+1} \Rightarrow y \ge 0. \)
Warunek \( x \ge -1 \) po podstawieniu \( x = y^2 – 1 \) daje:
\[ y^2 – 1 \ge -1 \Rightarrow y^2 \ge 0, \]
co jest zawsze prawdą. Główny warunek to więc \( y \ge 0 \).
Zbiór wartości:
\[ W_f = \langle 0, \infty). \]
Typowe zbiory wartości – zestawienie
| Typ funkcji | Przykład | Dziedzina | Typowy zbiór wartości |
|---|---|---|---|
| Liniowa | \( f(x) = 2x – 3 \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) |
| Kwadratowa (ramiona do góry) | \( f(x) = x^2 \) | \( \mathbb{R} \) | \( \langle 0, \infty) \) |
| Kwadratowa (ramiona w dół) | \( f(x) = -x^2 + 1 \) | \( \mathbb{R} \) | \( (-\infty, 1\rangle \) |
| Odwrotność | \( f(x) = \frac{1}{x} \) | \( \mathbb{R}\setminus\{0\} \) | \( \mathbb{R}\setminus\{0\} \) |
| Pierwiastkowa | \( f(x) = \sqrt{x} \) | \( \langle 0, \infty) \) | \( \langle 0, \infty) \) |
Jak samodzielnie ćwiczyć wyznaczanie zbioru wartości?
Aby dobrze opanować temat, warto rozwiązywać zadania krok po kroku:
- Wybierz funkcję (np. kwadratową, wymierną, pierwiastkową).
- Ustal jej dziedzinę.
- Spróbuj „na oko” narysować szkic wykresu (choćby bardzo uproszczony).
- Ustal, jak nisko i jak wysoko sięga wykres (po osi \( y \)).
- Sprawdź swoje przypuszczenia obliczeniami (np. wyznaczając wierzchołek albo analizując równanie \( y = f(x) \)).
Im częściej będziesz przechodzić ten proces, tym łatwiej przyjdzie Ci rozwiązywanie zadań maturalnych i innych problemów z funkcjami.
Podsumowanie – jak wyznaczyć zbiór wartości funkcji?
- Zbiór wartości funkcji to wszystkie możliwe wyniki, które może dać funkcja.
- Zanim zaczniesz go wyznaczać, ustal dziedzinę – bez niej możesz dojść do błędnych wniosków.
- Dla różnych typów funkcji stosuj różne metody:
- liniowe – analiza końców przedziału i monotoniczności,
- kwadratowe – wierzchołek paraboli i znak \( a \),
- wymierne/pierwiastkowe – analiza wzoru, warunków istnienia (np. mianownik \(\neq 0\), podpierwiastkowe \(\ge 0\)),
- czasem przydatne jest odwracanie równania \( y = f(x) \) i sprawdzenie, jakie \( y \) są możliwe.
- Warto wspierać się wykresami – nawet prosty szkic bardzo pomaga zrozumieć, jakie wartości są osiągane.